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Cap´ ıtulo 9. Dos teoremas l´ ımite 355

randn(’state’,1500)
N=200; S=zeros(1,N); Sn=zeros(1,N); S n /n
R=1+3*randn;
S(1)=R; Sn(1)=R;
for j=2:N
S(j)=S(j-1)+1+3*randn; 1
Sn(j)=S(j)/j;
end n
plot([Sn],’r-’) 100 200

Figura 9.2: Comportamiento del cociente S n /n cuando n crece usando la distri-
buci´on normal con media uno y varianza nueve.

E(X − µ)= 0. Entonces por independencia,

n
" 4 4 4
E| (X i − µ)| = nE|X − µ| +3n(n − 1)σ .
i=1
n
(
Por la desigualdad de Chebyshev (9.2) aplicada a la variable | i=1 (X i −µ)|
4
yla funci´on g(x)= x se obtiene, para ϵ > 0,
n n
" " 4 4
P(| (X i − µ)| >nϵ) ≤ E| (X i − µ)| /(nϵ)
i=1 i=1
4
4
4
=( nE|X − µ| +3n(n − 1)σ )/(nϵ) .
1 ( n ( ∞
Sea el evento A n =(| X i − µ| > ϵ). Entonces P(A n ) < ∞.Por
n i=1 n=1
el lema de Borel-Cantelli la probabilidad de que ocurra una infinidad de
eventos A n es cero, es decir, con probabilidad uno, s´olo un n´umero finito de
estos eventos ocurre. Por lo tanto con probabilidad uno, existe un n´umero
natural n apartir del cual ning´un evento A n se verifica. Es decir,

n
1 "
P(l´ım | X i − µ| ≤ ϵ )= 1.
n→∞ n
i=1