Page 373 - cip2007

Cap´ ıtulo 9. Dos teoremas l´ ımite 361

2
609. Sea X con media µ yvarianza σ .Use la desigualdad de Chebyshev
para estimar la probabilidad de que X tome valores entre µ − ϵσ y
µ + ϵσ para cualquier ϵ > 0constante.

610. A partir de la desigualdad de Chebyshev extendida (9.2) demuestre la
desigualdad de Chebyshev (9.1) y la desigualdad de Markov.
611. Demuestre que P(|X| ≥ ϵ) ≤ E|X|/ϵ,para ϵ > 0,

a)usando la desigualdad de Chebyshev extendida.
b)de manera directa.

n
n
612. Demuestre que P(|X| ≥ ϵ) ≤ E|X| /ϵ ,para ϵ > 0y n ∈ N,
a)usando la desigualdad de Chebyshev extendida.
b)de manera directa.

ϵt
613. Demuestre que P(X ≥ ϵ) ≤ E(e tX )/e ,para ϵ > 0y t> 0,
a)usando la desigualdad de Chebyshev extendida.
b)de manera directa.
614. Sea X discreta con funci´on de probabilidad

⎧
⎨ 1/18 si x = −1, 1,
f(x)= 16/18 si x =0,
⎩
0 otro caso.
Demuestre que el valor exacto de la probabilidad P(|X − µ| ≥ 3σ)
coincide con la estimaci´on dada por la desigualdad de Chebyshev. Este
resultado demuestra que, sin hip´otesis adicionales, la cota superior
dada por la desigualdad de Chebyshev es ´optima.

615. Considere la siguiente versi´on de la desigualdad de Chebyshev
2
P(|X − µ| < ϵσ) ≥ 1 − 1/ϵ .
Encuentre el m´ınimo valor de ϵ > 0 de tal modo que la probabilidad
de que una variable aleatoria tome valores entre µ − ϵσ y µ + ϵσ sea
al menos 0.90.