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348 9.1. Algunas desigualdades

Demostraci´on.
E(X)= E( X 1 (X≥ϵ) + X 1 (X<ϵ) )
≥ E( X 1 (X≥ϵ) )

≥ E( ϵ 1 (X≥ϵ) )
= ϵ P(X ≥ ϵ).

En palabras, este resultado establece que la probabilidad deque X exceda
un valor ϵ positivo est´a acotada superiormente por la media entre ϵ.Existen
otras versiones equivalentes de esta desigualdad, por ejemplo,

a) P(|X| ≥ ϵ) ≤ E|X|/ϵ.
n
n
b) P(|X| ≥ ϵ) ≤ E|X| /ϵ ,con n en N.
La siguiente desigualdad ser´a usada en la siguiente secci´on para demostrar
la ley d´ebil de los grandes n´umeros.

Proposici´ on. (Desigualdad de Chebyshev). Sea X una variable
2
aleatoria con media µ yvarianza finita σ .Para cualquier ϵ > 0,
σ 2
P(|X − µ| ≥ ϵ) ≤ . (9.1)
ϵ 2

Demostraci´on.
?
σ 2 = E (X − µ) 2 @
2
2
? @
= E (X − µ) 1 (|X−µ|≥ϵ) +(X − µ) 1 (|X−µ|<ϵ)
2
? @
≥ E (X − µ) 1 (|X−µ|≥ϵ)
? 2 @
≥ E ϵ 1 (|X−µ|≥ϵ)
2
= ϵ P(|X − µ| ≥ ϵ).