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Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 343

586. Sea X con distribuci´on Ber(p). Demuestre que

it
a) φ(t)= 1 − p + pe .
b) E(X)= p, usando φ(t).
c)Var(X)= p(1 − p), usando φ(t).
n
d) E(X )= p, usando φ(t), con n ≥ 1entero.
587. Sea X con distribuci´on bin(n, p). Hemos demostrado que la funci´on
it n
caracter´ıstica de esta distribuci´on es φ(t)= (1 − p + pe ) .Usando
φ(t)demuestre ahora que
a) E(X)= np.
2
b) E(X )= np(1 − p + np).
c)Var(X)= np(1 − p).

588. Sea X con distribuci´on Poisson(λ). Hemos demostrado que la funci´on
it
caracter´ıstica de esta distribuci´on es φ(t)= exp[−λ(1 − e )]. Usando
φ(t)compruebe que

a) E(X)= λ.
2
b) E(X )= λ(λ +1).
c)Var(X)= λ.

589. Sea X con distribuci´on geo(p). Demuestre que

it
a) φ(t)= p/(1 − (1 − p)e ).
b) E(X)= (1 − p)/p, usando φ(t).
2
c)Var(X)= (1 − p)/p , usando φ(t).
590. Sea X tiene distribuci´on bin neg(r, p). Demuestre que

it r
a) φ(t)= [p/(1 − (1 − p)e )] .
b) E(X)= r(1 − p)/p, usando φ(t).
2
c)Var(X)= r(1 − p)/p , usando φ(t).