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338 8.4. Ejercicios

550. Sea X con distribuci´on Poisson(λ). Demuestre que

a) G(t)= e −λ(1−t) .
b) E(X)= λ, usando G(t).
c)Var(X)= λ, usando G(t).

551. Sean X y Y independientes con distribuci´on Poisson con par´ametros
λ 1 y λ 2 respectivamente. Use la f.g.p. para demostrar que la variable
X + Y tiene distribuci´on Poisson(λ 1 + λ 2 ).

552. Sea X con distribuci´on bin neg(r, p). Demuestre que
r
a) G(t)= [p/(1 − t(1 − p))] .
b) E(X)= r(1 − p)/p, usando G(t).
2
c)Var(X)= r(1 − p)/p , usando G(t).

Funci´on generadora de momentos

553. Encuentre la funci´on generadora de momentos, si existe, de una va-
riable aleatoria con funci´on de densidad
1
a) f(x)= , para x =1, 2,...
x!(e − 1)
b) f(x)= e −|x| /2, para −∞ <x < ∞.

554. Sea X con varianza finita y con f.g.m. M(t). Demuestre que

a) E(X)= M (0).
′
2
b) E(X )= M (0).
′′
2
c)Var(X)= M (0) − (M (0)) .
′′
′
555. Sean X y Y independientes e id´enticamente distribuidas con f.g.m.
M(t). Demuestre que M X−Y (t)= M(t) M(−t).
556. Sea X con f.g.m. M X (t), y sean a y b dos constantes. Demuestre que
tb
M aX+b (t)= e M X (at).