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334 8.3. Funci´ on caracter´ ıstica

de inversi´on de L`evy, y por el teorema de Fubini,

1 ' T e −itx − e −ity
F(y) − F(x)= l´ım φ(t) dt
T→∞ 2π −T it
1 ' ∞ e −itx − e −ity
= φ(t) dt
2π it
−∞
1 ' ∞ ;' y <
= e −itx dx φ(t) dt.
2π
−∞ x
y 1 ∞
' ; ' <
= e −itx φ(t) dt dx.
x 2π −∞
Por lo tanto el integrando debe ser la funci´on de densidad de X.

Es necesario se˜nalar que el uso de esta f´ormula requiere conocer de antemano
que la funci´on caracter´ıstica proviene de una variable aleatoria absoluta-
mente continua. De aqui surge el problema, que ´unicamente mencionamos,
de encontrar condiciones sobre φ(t)que garanticen que la correspondiente
variable aleatoria es absolutamente continua.

Ahora se demuestra un resultado que ser´a de utilidad en la ´ultima parte
del curso y que establece que la convergencia en distribuci´on es equivalente
alaconvergencia puntual de las correspondientes funcionescaracter´ısticas.
El resultado es v´alido como esta enunciado pero s´olo demostraremos una de
las implicaciones.

Teorema de Continuidad.Sean X, X 1 ,X 2 ,... variables aleatorias.
d
Entonces X n → X si, y s´olo si, φ X n (t) → φ X (t).

(t) → φ X (t). Entonces para dos pun-
Demostraci´on. (⇐)Suponga que φ X n
tos de continuidad x< y de F X ,el teorema de inversi´on de L`evy establece