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Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 337

1
a) f(x)= , para x =1, 2,...
x!(e − 1)
1
b) f(x)= , para x =1, 2,...
x(x +1)

544. Sea X con distribuci´on Ber(p). Demuestre que
a) G(t)= 1 − p + pt.

b) E(X)= p, usando G(t).
c)Var(X)= p(1 − p), usando G(t).
n
d) E(X )= p, usando G(t).
545. Sea X con distribuci´on bin(n, p). Demuestre que
n
a) G(t)= (1 − p + pt) .
b) E(X)= np, usando G(t).
c)Var(X)= np(1 − p), usando G(t).

546. Sean X 1 ,... ,X n variables aleatorias independientes, cada una con dis-
tribuci´on Ber(p). Use la f.g.p. para demostrar que la variable X 1 +···+
X n tiene distribuci´on bin(n, p).

547. Sean X y Y independientes con distribuci´on bin(n, p)y bin(m, p),
respectivamente. Use la f.g.p. para demostrar que la variable X + Y
tiene distribuci´on bin(n + m, p).
548. Sea X con distribuci´on bin(N, p), en donde N es una variable aleatoria
con distribuci´on bin(n, r). Use la f.g.p. para demostrar que X tiene
distribuci´on bin(n, rp).
549. Sea X con distribuci´on geo(p). Demuestre que

a) G(t)= p/[1 − t(1 − p)].

b) E(X)= (1 − p)/p, usando G(t).
2
c)Var(X)= (1 − p)/p , usando G(t).