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336 8.4. Ejercicios

8.4. Ejercicios

Funci´on generadora de probabilidad

538. Sea X con varianza finita y con f.g.p. G(t). Demuestre que

a) E(X)= G (1−).
′
2
b) E(X )= G (1−)+ G (1−).
′
′′
2
c)Var(X)= G (1−)+ G (1−) − [G (1−)] .
′
′
′′
539. Sean X y Y independientes, y sean a y b dos constantes. Demuestre
que
a) P(X = k)= G (k) (0)/k!para k =0, 1,...
a
b
b) G aX+b (t)= t G X (t ).
c) G X−Y (t)= G X (t) G Y (1/t).
540. Sean X 1 ,... ,X n independientes tales que X k tiene f.g.p. G k (t), para
(t)= G 1 (t) ··· G n (t).
k =1,... ,n.Demuestre que G X 1 +···+X n

541. Demuestre o proporcione un contraejemplo: Si G X+Y (t)= G X (t) ·
G Y (t), para valores de t en alg´un intervalo no trivial alrededor del
cero, entonces X y Y son independientes.
542. Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de v.a.i.i.d. con f.g.p. G X (t). Sea N otra
variable aleatoria con valores en N,independiente de la sucesi´on y con
f.g.p. G N (t). Sea S = X 1 + ··· + X N .Demuestre que

a) G S (t)= G N (G X (t)).
b) E(S)= E(N)E(X), usando G S (t).
2
c)Var(S)= E (X)Var(N)+ E(N)Var(X), usando G S (t).
543. Encuentre la funci´on generadora de probabilidad, si existe, de una
variable aleatoria con funci´on de densidad