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Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 331

El cambio en el orden de integraci´on es permitido pues el integrando es una
funci´on continua y acotada en t ∈ [−T, T]y z ∈ R,incluyendo cuando t =0,
pues puede definirse esta funci´on de acuerdo a su comportamiento l´ımite en
ese punto, es decir,

e it(z−x) − e it(z−y)
l´ım = y − x.
t→0 it
Desarrollando las exponenciales en t´erminos de senos y cosenos se obtiene

1 ' ∞ ' T 1
I(T)= (cos t(z − x)+ i sen t(z − x)
2π it
−∞ −T
− cos t(z − y) − i sen t(z − y)) dt dF(z),
en donde para cualquier n´umero real a,por ser coseno una funci´on par, y
seno una funci´on impar,
T
'
cos(at)
dt =0,
t
−T
T sen(at) T sen(at)
' '
y dt =2 dt.
−T t 0 t
Por lo tanto
1 ' ∞ ' T sen t(z − x) ' T sen t(z − y)
I(T)= (2 dt − 2 dt ) dF(z).
2π t t
−∞ 0 0
El siguiente paso consiste en aplicar el teorema de convergencia dominada
cuando T →∞.La integral I(T)es la esperanza de la variable aleatoria

1 ' T sen t(X − x) ' T sen t(X − y)
X T = (2 dt − 2 dt ).
2π 0 t 0 t

Nos interesa encontrar el l´ımite de esta variable cuando T →∞.Para ello
se hace uso del siguiente resultado no trivial:

⎧
T sen at
' ⎨ π si a> 0,
l´ım 2 dt = π signo(a)= −π si a< 0,
T→∞ 0 t ⎩ 0 si a =0.