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Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 333

Teorema de unicidad.Si X y Y son tales que φ X (t)= φ Y (t)para
todo valor real de t,entonces X y Y tienen la misma distribuci´on.

Demostraci´on. Sea φ(t)la funci´on caracter´ıstica com´un. Sea z cualquier
n´umero real, y sean x y y tales que x< z < y.Haciendo x tender a −∞,y
y ↘ z,en la f´ormula de inversi´on de L`evy, se obtiene una ´unica funci´on de
distribuci´on dada por

1 ' T e −itx − e −ity
F(z)= l´ım l´ım l´ım φ(t) dt.
y↘z x↘−∞ T→∞ 2π −T it

Cuando la condici´on φ X (t)= φ Y (t)s´olo se cumple en una vecindad del
cero, no es necesariamente cierto que la distribuci´on de probabilidad queda
completamente especificada. V´ease [13] para un ejemplo al respecto.

En el caso absolutamente continuo se tiene la siguiente f´ormula expl´ıcita.

Proposici´ on (F´ ormula de inversi´ on en el caso abs. continuo).
Sea X absolutamente continua con funci´on de densidad f(x), y funci´on
caracter´ıstica φ(t). Entonces

'
1 ∞
f(x)= e −itx φ(t) dt.
2π −∞

Demostraci´on. Sean x< y,dos puntos de continuidad de F.Por el teorema