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328 8.3. Funci´ on caracter´ ıstica

1. Para cualquier h distinto de cero,

' i(t+h)x itx
φ(t + h) − φ(t) ∞ e − e
= dF(x)
h h
−∞
'
∞ e ihx − 1
= e itx dF(x)
h
−∞
e ihX − 1
= E( e itX ). (8.2)
h
e ihx − 1
Como l´ım = ix,entonces, puntualmente,
h→0 h
e ihX − 1
l´ım e itX = iX e itX .
h→0 h
Comprobaremos que las variables aleatorias de esta sucesi´on, parame-
trizada por h,estan uniformemente acotadas por una variable aleato-
ria integrable, en efecto,

e ihX − 1 e ihX − 1
|e itX | = | |
h h
1 ' h isX
= | iX e ds|
h 0
1 ' h isX
≤ |X| |e | ds
h 0
= |X|.

Por hip´otesis, E|X| < ∞,de modo que usando elteorema de conver-
gencia dominada en (8.2) se obtiene

d
φ(t)= E[ iX e itX ].
dt
Por el mismo procedimiento se encuentra que

d n
n itX
φ(t)= E[(iX) e ].
dt n