Page 335 - cip2007

Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 323

ci´on generadora de momentos del vector (X, Y )es la funci´on M X,Y (s, t)=
tY
E(e sX e ), para valores reales de s y t donde esta esperanza sea absoluta-
mente convergente. Puede demostrarse que las variables X y Y son inde-
pendientes si, y s´olo si, M X,Y (s, t)= M X (s) M Y (t). La definici´on de f.g.m.
para vectores de dimensi´on mayor es an´aloga.

En la secci´on de ejercicios se pueden encontrar las funciones generadoras de
momentos de algunas otras distribuciones de probabilidad, tanto discretas
como continuas, as´ı como en el primer ap´endice al final del libro.

8.3. Funci´on caracter´ıstica

Esta es una funci´on definida para cada distribuci´on de probabilidad, y a
diferencia de las funciones generadoras de probabilidad y demomentos es-
tudiadas antes, siempre existe.

Definici´ on. (Funci´ on caracter´ ıstica). La funci´on caracter´ıstica de
la variable aleatoria X es la funci´on
C itX D
φ(t)= E e ,

definida para cualquier n´umero real t.El n´umero i es la unidad de los
n´umeros imaginarios.

Observe que la transformaci´on X 8→ e itX lleva una variable aleatoria real X
auna variable aleatoria con valores en los n´umeros complejos de la forma
cos(tX)+ i sen(tX), en donde cada parte de este n´umero complejo es una
variable aleatoria real, es decir, se trata de un vector aleatorio bidimensional
como los estudiados anteriormente. La funci´on caracter´ıstica puede entonces
escribirse en la forma

φ(t)= E(cos tX)+ iE(sen tX).
Nuevamente se escribe φ X (t)cuando sea necesario especificar que se trata de