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318 8.2. Funci´ on generadora de momentos

Distribuci´ on Funci´ on generadora de momentos

at
bt
unif(a, b) M(t)= (e − e )/(bt − at)
exp(λ) M(t)= λ/(λ − t)
gama(n, λ) M(t)= [λ/(λ − t)] n

2 2
2
N(µ, σ ) M(t)= exp(µt + σ t /2)
2
χ (n) M(t)= (1 − 2t) −n/2
t(n) M(t)no existe para t ̸=0

Se demuestran a continuaci´on algunas propiedades b´asicasde la f.g.m., y
despu´es se muestra su utilidad mediante algunos ejemplos.

Proposici´ on.Sea X con f.g.m. M(t)finita para cada t ∈ (−s, s), para
alg´un s> 0. Entonces

1. Todos los momentos de X son finitos.

∞ n
" t
n
2. M(t)= E(X ).
n!
n=0
3. M(t)tiene derivadas continuas de cualquier orden en (−s, s), y se
cumple
d n B B
n
M(t) B = E(X ).
dt n B
t=0

Demostraci´on.