Page 327 - cip2007

Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 315

serv´andose el mismo radio de convergencia, se tiene que

∞
d "
k
G (t)= t P(X = k)
′
dt
k=0
∞
" d
k
= t P(X = k)
dt
k=0
∞
"
= kt k−1 P(X = k).
k=1
Como por hip´otesis la esperanza existe, por el lema de Abel (ver
ap´endice),
∞
"
l´ım G (t)= kP(X = k)= E(X).
′
t↗1
k=1
Para la segunda derivada se tiene
∞
"
′′
G (t)= k(k − 1)t k−2 P(X = k),
k=2
de modo que cuando el segundo momento existe,
∞
"
l´ım G (t)= k(k − 1)P(X = k)= E(X(X − 1)).
′′
t↗1
k=2
De manera an´aloga se demuestra para las derivadas de orden superior.
3. Cuando X y Y son independientes,

Y
X
X Y
G X+Y (t)= E(t X+Y )= E(t t )= E(t ) E(t )= G X (t) G Y (t).

Ejemplo.Se ha encontrado que la f.g.p. de una variable aleatoria X con
distribuci´on Poisson(λ)es G(t)= e −λ(1−t) .Usando esta funci´on encontra-
′
remos la esperanza y varianza de X.Alderivar una vez se obtiene G (t)=