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314 8.1. Funci´ on generadora de probabilidad

Proposici´ on. (Propiedades de la f.g.p.).

1. Sean X y Y variables aleatorias con valores en {0, 1,...} tales que
G X (t)y G Y (t)existen y coinciden en alg´un intervalo alrededor de
t =0. Entonces X y Y tienen la misma distribuci´on de probabili-
dad.
2. Si el n-´esimo momento factorial de X existe, entonces

d n
l´ım G X (t)= E[X(X − 1) ··· (X − n +1)].
t↗1 dt n

3. Sean X y Y independientes con f.g.p. G X (t)y G Y (t)respectiva-
mente, entonces G X+Y (t)= G X (t) G Y (t).

Demostraci´on.

1. Para cada k ≥ 0, sean a k = P(X = k)y b k = P(Y = k). La igualdad
G X (t)= G Y (t)se escribe de la forma:

∞ ∞
" "
k
k
t a k = t b k .
k=0 k=0
Para que estas dos series de potencias en t coincidan en alg´un inter-
valo no trivial alrededor del cero, sus coeficientes deben forzosamente
coincidir, es decir, a k = b k para cada k ≥ 0. Esto significa que las
distribuciones de probabilidad coinciden.

2. Como las series de potencia se pueden derivar t´ermino a t´ermino con-