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312 8.1. Funci´ on generadora de probabilidad

aleatorias con valores enteros. Supondremos tal caso y sin p´erdida de ge-
neralidad consideraremos que las variables toman valores enel conjunto
{0, 1,...},que corresponde a la mayor´ıa de las variables aleatorias discretas
estudiadas en este curso. En tal situaci´on,

∞
"
k
G(t)= t P(X = k).
k=0
Es decir, la f.g.p. es una serie de potencias en t,con coeficientes dados por
la distribuci´on de probabilidad, por ende el nombre de dichafunci´on. Es
importante observar que el radio de convergencia de esta serie es por lo
menos uno, pues para |t| < 1,

∞ ∞
" "
k
|G(t)| ≤ |t| P(X = k) ≤ P(X = k)= 1.
k=0 k=0
Calculando la k-´esima derivada puede comprobarse adem´as que a partir de
la f.g.p. puede reconstruirse la funci´on de densidad a trav´es de la f´ormula
P(X = k)= G (k) (0)/k!

Ejemplo.Sea X con distribuci´on Poisson(λ). La f.g.p. de X est´a definida
para todo valor real de t ypuede calcularse de la siguiente forma.

∞ k ∞ k
" λ " (λt)
k −λ
e
G(t)= t e = e −λ = e −λ λt = e −λ(1−t) .
k! k!
k=0 k=0
!
En la siguiente tabla se muestran ejemplos de funciones generadoras de
probabilidad para algunas distribuciones discretas.