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308 7.4. Ejercicios

p p
2
2
519. Demuestre que si X n −→ X,entonces X −→ X .
n
520. Sea c> 0 una constante. Use la desigualdad de Chebyshev para de-
p
mostrar que si X n tiene distribuci´on gama(cn, n), entonces X n −→ c.
Convergencia en media

521. Demuestre que en la convergencia en media, el l´ımite es ´unico casi
m
m
seguramente, es decir, si X n −→ X,y X n −→ Y ,entonces X = Y
casi seguramente. Sugerencia: E|X − Y | ≤ E|X − X n | + E|X n − Y |.
m m
522. Demuestre que si X n −→ X,entonces aX n + b −→ aX + b,en donde
a y b constantes.

m m m
523. Suponga que X n −→ X y Y n −→ Y .Demuestre que X n +Y n −→ X +
m
Y .Proporcione un contraejemplo para la afirmaci´on: X n Y n −→ XY .

Convergencia en media cuadr´atica

524. Demuestre que en la convergencia en media cuadr´atica, el l´ımite es
m.c. m.c.
´unico casi seguramente, es decir, si X n −→ X,y X n −→ Y ,entonces
X = Y casi seguramente. Sugerencia: Por la desigualdad c r con r =2,
2
2
2
E|X − Y | ≤ 2(E|X − X n | + E|X n − Y | ).
m.c. m.c.
525. Demuestre que si X n −→ X,entonces aX n + b −→ aX + b,en donde
a y b son constantes.
m.c.
526. Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar quesi X n −→
m.c. m.c.
X y Y n −→ Y ,entonces X n + Y n −→ X + Y .

Convergencia en distribuci´on

527. Demuestre que en la convergencia en distribuci´on, el l´ımite es ´unico
d d
en distribuci´on, es decir, si X n −→ X,y X n −→ Y ,entonces X y Y