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Cap´ ıtulo 7. Convergencia 305

Teorema de convergencia dominada.Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on
de variables aleatorias para la cual existe otra variable Y integrable tal
que |X n | ≤ Y ,para n ≥ 1. Si l´ım X n = X c.s., entonces X y X n son
n→∞
integrables y
l´ım E(X n )= E(X).
n→∞

Demostraci´on. Sea Y n =´ınf{X n ,X n+1 ,...}.Entonces Y n ↗ X cuando n →
∞.Por lo tanto (Y n + Y ) ↗ (X + Y ), en donde Y n + Y ≥ 0, pues como
−X n ≤ Y ,entonces X n ≥−Y para toda n,y por lo tanto Y n ≥−Y .Por el
teorema de convergencia mon´otona, E(Y n + Y ) ↗ E(X + Y ). De donde se
obtiene
E(Y n ) ↗ E(X).
Sea ahora Z n =sup{X n ,X n+1 ,...}.Entonces Z n ↘ X cuando n →∞.Por
lo tanto (Y − Z n ) ↗ (Y − X), en donde Y − Z n ≥ 0, pues como X n ≤ Y
para toda n,entonces Z n ≤ Y .Por elteorema de convergencia mon´otona,
E(Y − Z n ) ↗ E(Y − X). De donde se obtiene

E(Z n ) ↘ E(X).

Ahora observe que Y n ≤ X n ≤ Z n .Por lo tanto E(Y n ) ≤ E(X n ) ≤ E(Z n ).
Al hacer n tender a infinito se obtiene el resultado.

Estos dos teoremas son herramientas fuertes en la teor´ıa de la probabilidad.
En particular, se usar´an en la ´ultima parte del curso para formalizar algunas
demostraciones.