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304 7.3. Dos resultados importantes de convergencia

discreta aproximante

Y (ω)= kϵ si kϵ ≤ X(ω) < (k +1)ϵ.

Observe que Y aproxima a X de la forma: Y ≤ X< Y + ϵ.O bien X − ϵ <
Y ≤ X.Por lo tanto, E(X) − ϵ ≤ E(Y ) ≤ E(X). Para cada n´umero
natural n defina el evento B n =(X n ≥ Y ). No es dif´ıcil comprobar que
B n ↗ Ω.Por lo tanto, para k fijo, A k ∩B n ↗ A k cuando n →∞,y entonces

P(A k ∩ B n ) ↗ P(A k ). Ahora considere la variable aleatoria discreta Y 1 B n
dada por
&
Y (ω) si ω ∈ B n ,
(ω)=
0 si ω /∈ B n .
Y 1 B n
) ≤ E(X n ). Entonces
Entonces 0 ≤ Y 1 B n ≤ X n ,y por lo tanto 0 ≤ E(Y 1 B n
l´ım E(X n ) ≥ l´ım E(Y 1 B n )
n→∞ n→∞
∞
"
= l´ım E(Y 1 B n∩A k )
n→∞
k=0
∞
"
= l´ım kϵ P(B n ∩ A k )
n→∞
k=0
m
"
≥ l´ım kϵ P(B n ∩ A k )
n→∞
k=0
m
"
= kϵ P(A k ).
k=0
Como esta desigualdad es v´alida para cualquier m ≥ 0, se obtiene
∞
"
l´ım E(X n ) ≥ kϵ P(A k )= E(Y ) ≥ E(X) − ϵ.
n→∞
k=0
Dado que ϵ > 0 es arbitrario, se concluye que l´ım E(X n ) ≥ E(X).
n→∞

El siguiente resultado establece otro tipo de condici´on suficiente para obte-
ner la misma conclusi´on.