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Cap´ ıtulo 7. Convergencia 299

siempre. Para comprobar esta afirmaci´on se proporciona a continuaci´on un
ejemplo.

Ejemplo. (En general, conv. en prob. ̸=⇒ conv. c.s.). Considere
el espacio de probabilidad ((0, 1), B(0, 1),P), con P la medida uniforme.
Defina nuevamente la sucesi´on de eventos A 1 =(0, 1/2), A 2 =(1/2, 1), A 3 =
(0, 1/3), A 4 =(1/3, 2/3), A 5 =(2/3, 1), A 6 =(0, 1/4), A 7 =(1/4, 2/4),
A 8 =(2/4, 3/4), A 9 =(3/4, 1),... ycon ellos las variables aleatorias X n =
,cuyas gr´aficas aparecen en la Figura 7.3. Hemos comprobado antes que
1 A n
p
X n −→ 0, sin embargo la sucesi´on no converge casi seguramente pues X n (w)
no converge para ning´un ω. !

Ejemplo. (En general, conv. en media ̸=⇒ convergencia c.s.).
m
Considere la sucesi´on de variables X n del ejemplo anterior. Entonces X n −→
0pues E|X n − 0| = P(A n ) → 0. Sin embargo esta sucesi´on no converge c.s.

!
El ejemplo anterior sirve tambi´en para mostrar que, en general, la conver-
gencia en media cuadr´atica no implica la convergencia casi segura. En este
2
ejemplo se cumple que E|X n − 0| → 0, y sin embargo X n no converge a 0
c.s.

Ejemplo. (En general, conv. c.s. ̸=⇒ conv. en media). Considere
el espacio ((0, 1), B(0, 1),P), con P la medida de probabilidad uniforme.
Defina la sucesi´on X n = n 1 (0,1/n) .Entonces X n converge a cero casi segu-
ramente pues P(l´ım X n =0) = P(Ω)= 1. Sin embargo no hay convergencia
en media pues E|X n − 0| = E(X n )= 1 ̸−→ 0. !

Este ejemplo puede ser usado tambi´en para demostrar que la convergencia
casi segura no implica necesariamente la convergencia en media cuadr´atica.

Proposici´ on.Convergencia en m.c. ⇒ convergencia en media.