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294 7.1. Tipos de convergencia

Definici´ on. (Convergencia en media cuadr´ atica). La sucesi´on
de variables aleatorias X 1 ,X 2 ,... converge en media cuadr´atica a X,si

2
l´ım E|X n − X| =0.
n→∞

En este tipo de convergencia se presupone que tanto los elementos de la
sucesi´on como el l´ımite mismo son variables aleatorias consegundo momento
2
finito. A este tipo de convergencia tambi´en se le llama convergencia en L ,
m.c. L 2
yse le denota por X n −→ X,o X n −→ X.
k
En general puede definirse la convergencia en L ,para cada entero k ≥ 1,
k
cuando se cumple la condici´on E|X n −X| → 0. Resulta que mientras mayor
es el valor de k,m´as restrictiva es la condici´on de convergencia.

Convergencia en distribuci´on

Este es el tipo de convergencia menos restrictiva de todas lasmencionadas.
En contextos m´as generales se le llama tambi´en convergencia d´ebil.

Definici´ on. (Convergencia en distribuci´ on). La sucesi´on de va-
riables aleatorias X 1 ,X 2 ,... converge en distribuci´on a X,sipara todo
punto x en donde la funci´on F X (x)es continua, se cumple que

(x)= F X (x).
l´ım F X n
n→∞

d d d
En este caso se escribe X n → X,o F X n → F X ,o bien X n → F X .Por
ejemplo, si la distribuci´on l´ımite es la distribuci´on normal est´andar, puede
d
escribirse X n → N(0, 1). Observe que para este tipo de convergencia se hace