Page 301 - cip2007

Cap´ ıtulo 7. Convergencia 289

!
N
Ejercicio. Considere el espacio medible (N, 2 ). Determine si existe con-
vergencia puntual para cada una de las siguientes sucesionesde variables
aleatorias discretas. En caso afirmativo encuentre la variable aleatoria l´ımi-
te. a) X n (ω)= ω mod nb) X n (ω)= m´ın{ω,n} c) X n (ω)= m´ax{ω,n}
!

Una sucesi´on de variables aleatorias es entonces una sucesi´on de funciones,
pero a diferencia de la situaci´on que se estudia en los cursosde an´alisis
matem´atico, el dominio de definici´on de estas funciones, esdecir, el espacio
muestral en este caso, no tiene una estructura algebraica excepto la dada
por la σ-´algebra y la medida de probabilidad. La forma en la que se utili-
za esta medida de probabilidad es la que determina los distintos tipos de
convergencia.

Convergencia casi segura

En algunas situaciones la convergencia puntual resulta ser una condici´on
muy fuerte pues se pide la convergencia de la sucesi´on evaluada en todos y
cada uno de los elementos del espacio muestral. Se puede ser menos estricto
ypedir, por ejemplo, que la convergencia se verifique en todo el espacio Ω
excepto en un subconjunto de probabilidad cero.

Definici´ on. (Convergencia casi segura). La sucesi´on de variables
aleatorias X 1 ,X 2 ,... converge casi seguramente a la variable X,si

P{ω ∈ Ω :l´ım X n (ω)= X(ω)} =1.
n→∞

Es decir, en la convergencia casi segura se permite que para algunos valores
de ω,la sucesi´on num´erica X 1 (ω),X 2 (ω),... pueda no converger, sin em-
bargo el subconjunto de Ω en donde esto suceda debe tener probabilidad