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288 7.1. Tipos de convergencia

de los elementos de Ω,entonces se dice que la sucesi´on de variables aleato-
rias converge puntualmente, y su l´ımite es la funci´on X : Ω → R definida
naturalmente por X(ω)= l´ım n→∞ X n (ω). Se ha demostrado antes que en
esta situaci´on la funci´on l´ımite X es efectivamente una variable aleatoria.
Formalmente se tiene entonces la siguiente definici´on.

Definici´ on. (Convergencia puntual). La sucesi´on de variables alea-
torias X 1 ,X 2 ,... converge puntualmente a X si para cada ω en Ω,

l´ım X n (ω)= X(ω).
n→∞

Ejemplo.Considere el espacio medible ([0, 1], B[0, 1]), y defina la sucesi´on
n
de variables aleatorias continuas X n (ω)= ω .Como en este caso eles-
pacio muestral es un subconjunto de n´umeros reales, podemosgraficar las
variables aleatorias como en la Figura 7.1.

X n (ω)

1

ω
1
n
Figura 7.1: Gr´afica de la variable aleatoria X n (ω)= ω .

Entonces para cada ω ∈ [0, 1), la sucesi´on num´erica X n (ω)converge a 0,
mientras que para ω =1, y para cualquier valor de n, X n (ω)= 1. De esta
manera la sucesi´on converge puntualmente a la variable aleatoria

&
0si ω ∈ [0, 1),
X(ω)=
1si ω =1.