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Cap´ ıtulo 6. Dist. muestrales y estad´ ısticas de orden 283

Distribuci´on F

484. Demuestre que la funci´on de densidad de una variable aleatoria X con
distribuci´on F(n, m)efectivamente lo es. Demuestre adem´as que

a) E(X)= m/(m − 2), para m> 2.
2
2m (m + n − 2)
b)Var(X)= , para m> 4.
2
n(m − 2) (m − 4)
485. Sea X con distribuci´on F(n, m). Demuestre que Y =1/X tiene distri-
buci´on F(m, n), observe el cambio en el orden de los par´ametros. Este
resultado es ´util para obtener valores de F que no aparecen en tablas
de esta distribuci´on que son comunes en textos de estad´ıstica.

486. Sea X con distribuci´on F(n, m). Demuestre que cuando m tiende a
infinito la funci´on de densidad de nX converge a la funci´on de densidad
2
de la distribuci´on χ (n).

Estad´ısticas de orden: distribuciones individuales

487. Sea X 1 ,... ,X n una m.a. de una distribuci´on unif(0, 1). Demuestre
que la i-´esima estad´ıstica de orden tiene distribuci´on beta(i, n+1−i).
Encuentre por lo tanto su esperanza y varianza.

488. Sea X 1 ,... ,X n una m.a. de una distribuci´on exp(λ). Encuentre la
funci´on de densidad de la i-´esima estad´ıstica de orden.

489. Sean X (1) ,X (2) las estad´ısticas de orden de una m.a. de tama˜no dos
√
2
de una distribuci´on N(µ, σ ). Demuestre que E[X (1) ]= µ − σ/ π y
calcule E[X (2) ].
490. Sea X 1 ,... ,X n una m.a. de una distribuci´on F(x). Sea x un n´umero
real cualquiera, y para cada i =1,... ,n defina Y i =1 (−∞,x] (X i ). De-
muestre que las variables Y 1 ,... ,Y n son independientes, y cada una