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282 6.3. Ejercicios

479. Sean X 1 ,... ,X n independientes cada una con distribuci´on normal
est´andar. Demuestre que
n
"
2
2
X ∼ χ (n).
i
i=1
480. Sean X 1 ,... ,X n independientes tales que cada variable X i tiene dis-
2
tribuci´on N(µ i , σ )para i =1,... ,n.Demuestre que
i
n 2
" (X i − µ i ) ∼ χ (n).
2
σ 2
i=1 i
481. Sean X y Y independientes ambas con distribuci´on normal est´andar.
√
2
2
Sean R = X + Y y θ =tan −1 (Y/X). Demuestre que
2
2
a) R tiene distribuci´on χ (n)con n =2 grados de libertad.
b)tan θ tiene distribuci´on Cauchy.
c) R y θ son independientes.

Distribuci´on t

482. Demuestre que la funci´on de densidad de una variable aleatoria X
con distribuci´on t(n)efectivamente lo es. Demuestre adem´as que esta
funci´on tiene un m´aximo en x =0 y que

a) E(X)= 0.
b)Var(X)= n/(n − 2), para n> 2.

Compruebe adem´as que esta distribuci´on se reduce a la distribuci´on
Cauchy cuando el valor del par´ametro n es uno.

483. Demuestre que la distribuci´on t(n+1) tiene momentos finitos de orden
menor o igual a n,pero ning´un otro momento de orden superior.