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284 6.3. Ejercicios
de ellas tiene distribuci´on Ber(p), con p = F(x). Este hecho fue utili-
zado en el procedimiento para encontrar la funci´on de densidad de la
i-´esima estad´ıstica de orden.
491. Sean X y Y absolutamente continuas e independientes. Defina V =
m´ax{X, Y }.Demuestre que
a) F V (v)= F X (v)F Y (v).
b) f V (v)= F X (v)f Y (v)+ f X (v)F Y (v).
c) f V (v)= 2F(v)f(v), cuando X y X tienen la misma distribuci´on.
492. Use el ejercicio anterior para encontrar la funci´on de densidad del
m´aximo de dos variables aleatorias independientes cada unade ellas
con distribuci´on: a)unif(0, 1). b)exp(λ).
493. Sean X y Y absolutamente continuas e independientes. Defina U =
m´ın{X, Y }.Demuestre que
a) F U (u)= 1 − [1 − F X (u)][1 − F Y (u)].
b) f U (u)= [1 − F X (u)]f Y (u)+ f X (u)[1 − F Y (u)].
c) f U (u)= 2[1 − F(u)]f(u), cuando X y Y tienen la misma distri-
buci´on.
494. Use el ejercicio anterior para encontrar la funci´on de densidad del
m´ınimo de dos variables aleatorias independientes cada unade ellas
con distribuci´on: a)unif(0, 1). b)exp(λ).
495. Sean X 1 ,... ,X n variables aleatorias independientes en donde X k tiene
distribuci´on exp(λ k ), para k =1,... ,n.Demuestre que la variable
m´ın{X 1 ,... ,X n } tiene distribuci´on exp(λ 1 + ··· + λ n ), y que P(X k =
m´ın{X 1 ,... ,X n })= λ k /(λ 1 + ··· + λ n ).
