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Cap´ ıtulo 6. Dist. muestrales y estad´ ısticas de orden 281

6.3. Ejercicios

Media y varianza muestral

472. Sea X 1 ,... ,X n una muestra aleatoria de una distribuci´on con media
¯
2
2
2
µ yvarianza σ .Demuestre que E(X)= µ y E(S )= σ .Estos
¯
2
resultados son de utilidad en estad´ıstica y muestran que X y S son
estimadores insesgados para la media y varianza de la distribuci´on.
473. Sea X 1 ,... ,X n una m.a. de una distribuci´on con media µ yvarianza
¯
2
2
2
σ .Demuestre que Var(X)= σ /n.¿Cu´anto vale Var(S )?
474. Sea X 1 ,... ,X n una m.a. de una distribuci´on Ber(p). Demuestre que
¯
2
las estad´ısticas X y S no son independientes.
Distribuci´on χ 2
2
475. Demuestre que la funci´on de densidad de la distribuci´on χ (n)efec-
2
tivamente lo es. En particular, compruebe que la distribuci´on χ (n),
con n =2, se reduce a la distribuci´on exp(λ)con λ =1/2.
476. Demuestre que la distribuci´on gama(n/2, λ), con λ =1/2, se reduce a
2
la distribuci´on χ (n).
2
477. Sea X con distribuci´on χ (n). Demuestre que

a) E(X)= n.
m
m
b) E(X )= 2 Γ(m + n/2)/Γ(n/2), para m =1, 2,...
c)Var(X)= 2n.
2
478. Sean X 1 ,... ,X n independientes cada una con distribuci´on N(µ, σ ).
Demuestre que
¯
(X − µ) 2 2
2
σ /n ∼ χ (1).