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280 6.2. Estad´ ısticas de orden

(−∞,x], una de ellas en (x, x + h], j − i +1 variables en (x + h, y], otra en
(y, y + h], y el resto, n − j variables, tomen un valor en (y + h, ∞)es, de
acuerdo a la distribuci´on multinomial,

n!
[F(x)] i−1 [F(x + h) − F(x)]
(i − 1)! 1! (j − i − 1)! 1! (n − j)!
[F(y) − F(x + h)] j−i−1 [F(y + h) − F(y)] [1 − F(y + h)] n−j .

2
(x, y) h .Dividiendo
Esta probabilidad es aproximadamente igual a f X (i) ,X (j)
2
entre h ,y despu´es haciendo h tender a cero se obtiene la f´ormula enunciada.
Ejercicio. Demuestre que la expresi´on encontrada para la funci´on de den-
sidad conjunta de las estad´ısticas de orden X (i) y X (j) es efectivamente una
funci´on de densidad bivariada. Encuentre adem´as esta funci´on cuando las
variables de la muestra tienen distribuci´on unif(0, 1). !

Las f´ormulas para las funciones de densidad de las estad´ısticas de orden
encontradas en este cap´ıtulo se resumen en la siguiente tabla.

F´ ormulas para las funciones de densidad de algunas
estad´ ısticas de orden en el caso absolutamente continuo

(x)= nf(x)[1 − F(x)] n−1
f X (1)

(x)= nf(x)[F(x)] n−1
f X (n)
4 5
n
(x)= if(x)[F(x)] i−1 [1 − F(x)] n−i
i
f X (i)
'
∞
f R (r)= n(n − 1) f(v)f(r + v)[F(r + v) − F(v)] n−2 dv,
−∞
para r> 0en donde R = X (n) − X (1)
(x 1 ,... ,x n )= n! f(x 1 ) ··· f(x n ), para x 1 < ··· <x n
f X (1) ,...,X (n)
4 5
n
(x, y)= i(j − i) f(x)f(y)[F(x)] i−1
i, j − i, n − j
f X (i) ,X (j)
[F(y) − F(x)] j−i−1 [1 − F(y)] n−j ,
para x< y e i< j