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Cap´ ıtulo 6. Dist. muestrales y estad´ ısticas de orden 279

x 1 x 2 ··· ··· x n

Figura 6.4:

i − 1 1 j − i − 1 1 n − j

x x + h y y + h
Figura 6.5:

n
(x 1 ,... ,x n )h .
Esta probabilidad es aproximadamente igual a f X (1) ,...,X (n)
n
Dividiendo entre h ,y despu´es haciendo h tender a cero se obtiene, una vez
(x 1 ,... ,x n )= n!f(x 1 ) ··· f(x n ).
mas, f X (1) ,...,X (n)
Ahora nos interesa encontrar una f´ormula para la densidad conjunta de
cualesquiera dos estad´ısticas de orden.

Proposici´ on.Suponga i< j.Para x< y,

4 5
n
(x, y)= i(j − i) f(x)f(y)
i, j − i, n − j
f X (i) ,X (j)
[F(x)] i−1 [F(y) − F(x)] j−i−1 [1 − F(y)] n−j .

Para este resultado se presenta ´unicamente el argumento intuitivo usado
antes. Sean x< y yconsidere los intervalos ajenos (−∞,x], (x, x + h],
(x+h, y], (y, y +h], y (y +h, ∞)para h> 0 suficientemente peque˜na. v´ease
la Figura 6.5.

La probabilidad de que i − 1variables de lamuestratomen un valor en