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276 6.2. Estad´ ısticas de orden

(x)h.Dividiendo entre
Esta probabilidad es aproximadamente igual a f X (i)
h,y despu´es haciendo h tender a cero se obtiene nuevamente
4 5
n
(x)= if(x)[F(x)] i−1 [1 − F(x)] n−i .
i
f X (i)
Sea X 1 ,... ,X n una muestra aleatoria. A la variable aleatoria R = X (n) −
X (1) se le conoce como el rango de la muestra. El siguiente resultado provee
de una f´ormula para la funci´on de densidad de esta variable.

Proposici´ on.Para r> 0,

'
∞
f R (r)= n(n − 1) f(v)f(r + v)[F(r + v) − F(v)] n−2 dv.
−∞

Demostraci´on. Para x< y,
(x, y)= P(X ≤ x, X ≤ y)
F X (1) ,X (n) (1) (n)
= P(X (n) ≤ y) − P(X (n) ≤ y, X (1) >x)
n
=[F(y)] − P(x< X 1 ≤ y, . . . , x < X n ≤ y)
n
n
=[F(y)] − [F(y) − F(x)] .
(x, y)= n(n − 1)f(x)f(y)[F(y) − F(x)] n−2 ,para
Por lo tanto, f X (1) ,X (n)
n ≥ 2. Ahora se usa la f´ormula
'
∞
f Y −X (u)= f X,Y (v, u + v) dv
−∞
equivalente a (5.5) para la diferencia de dos variables aleatorias. Entonces
para r> 0,

'
∞
(r)= n(n − 1) f(v)f(r + v)[F(r + v) − F(v)] n−2 dv.
f X (n) −X (1)
−∞