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Cap´ ıtulo 6. Dist. muestrales y estad´ ısticas de orden 273

Distribuciones individuales

Comenzamos encontrando la distribuci´on de la primera y de la´ultima es-
tad´ıstica de orden de manera individual.

Proposici´ on.Para n ≥ 1,
(x)= nf(x)[1 − F(x)] n−1 .
1. f X (1)

(x)= nf(x)[F(x)] n−1 .
2. f X (n)

Demostraci´on.

1. Se calcula primero la funci´on de distribuci´on.

(x)= P(X ≤ x)
F X (1) (1)
= P(m´ın{X 1 ,... ,X n } ≤ x)
=1 − P(m´ın{X 1 ,... ,X n } >x)
=1 − P(X 1 >x, . . . , X n >x)
=1 − [P(X 1 >x)] n
n
=1 − [1 − F(x)] .
(x)= nf(x)[1 − F(x)] n−1 .
Entonces f X (1)
2. Se procede de manera an´aloga.
(x)= P(X ≤ x)
F X (n) (n)
= P(m´ax{X 1 ,... ,X n } ≤ x)
= P(X 1 ≤ x, . . . , X n ≤ x)
=[P(X 1 ≤ x)] n
n
=[F(x)] .
(x)= nf(x)[F(x)] n−1 .
Por lo tanto f X (n)