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Cap´ ıtulo 6. Dist. muestrales y estad´ ısticas de orden 269

Integrando respecto a s,

1 n n/2 ' ∞ n −s (1+n/t )/2
2
2
f T (t)= √ s e ds.
2π 2 n/2−1 Γ(n/2)t n+1 0
2
2
Ahora efectuamos el cambio de variable r(s)= s (1 + n/t )/2, de donde
2
obtenemos dr = s(1 + n/t )ds,y entonces
1 n n/2 ' ∞
f T (t)= √ r (n−1)/2 −r dr
e
2π 2 n/2−1 Γ(n/2)t n+1 2 C 1 + n D (n+1)/2 0
2 2t 2
Γ((n +1)/2) 1
= √ ,
2
nπ Γ(n/2) (1 + t /n) (n+1)/2
correspondiente a la funci´on de densidad de la distribuci´on t(n). Salvo
la constante Γ((n +1)/2), la ´ultima integral corresponde a la densidad
gama((n +1)/2, λ)con λ =1.

El siguiente resultado es usado en estad´ıstica para efectuar estimaciones de
la media de una poblaci´on normal cuando la varianza es desconocida.

2
Proposici´ on.Sea X 1 ,... ,X n una m.a. de una distribuci´on N(µ, σ ).
Entonces
¯
X − µ
√ ∼ t(n − 1).
S/ n

Demostraci´on. Simplemente se aplica la proposici´on reci´en demostrada a
las variables aleatorias independientes
¯
X − µ n − 1 2 2
√ ∼ N(0, 1) y S ∼ χ (n − 1).
σ/ n σ 2