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Cap´ ıtulo 6. Dist. muestrales y estad´ ısticas de orden 271

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Proposici´ on.Sean X ∼ χ (n)y Y ∼ χ (m)independientes. Entonces
X/n
∼ F(n, m).
Y/m

Demostraci´on. Esta afirmaci´on se obtiene directamente de la aplicaci´on de
la f´ormula para la funci´on de densidad del cociente de dos variables aleato-
rias. Recuerde que para n> 0, f X/n (x)= nf X (nx).

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Proposici´ on.Si X ∼ t(n), entonces X ∼ F(1,n).

Demostraci´on. El resultado se sigue f´acilmente de la aplicaci´on de la si-
guiente f´ormula general. Para x> 0, y por la simetr´ıa de la distribuci´on t,

√ √ 1 √ 1
f X 2(x)= ( f X ( x)+ f X (− x)) √ = f X ( x) √ .
2 x x

6.2. Estad´ısticas de orden

Dada una muestra aleatoria X 1 ,... ,X n ,podemos evaluar cada una de estas
variables en un punto muestral ω cualquiera y obtener una colecci´on de
n´umeros reales X 1 (ω),... ,X n (ω). Estos n´umeros pueden ser ordenados de
menor a mayor incluyendo repeticiones. Si X (ω)denota el i-´esimo n´umero
(i)
ordenado, tenemos entonces la colecci´on no decreciente de n´umeros reales

X (1) (ω) ≤ ··· ≤ X (n) (ω).