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Cap´ ıtulo 6. Dist. muestrales y estad´ ısticas de orden 267

Demostraci´on.
n n
" 2 " 2
¯
¯
(X i − µ) = [(X i − X)+ (X − µ)]
i=1 i=1
n
"
¯
2
¯ 2
= (X i − X) + n(X − µ) .
i=1
2
Dividiendo entre σ ,
n ¯
" 1 n − 1 X − µ
2
2
2
(X i − µ) = S +( √ ) .
σ 2 σ 2 σ/ n
i=1
2
El t´ermino del lado izquierdo tiene distribuci´on χ (n), mientras que el se-
2
gundo sumando del lado derecho tiene distribuci´on χ (1). Por la proposici´on
¯
2
anterior, y recordando que X y S son independientes, se concluye que el
2
primer sumando del lado derecho tiene distribuci´on χ (n − 1).
Distribuci´ on t. La variable aleatoria continua X tiene una distribuci´on t
de Student con n> 0grados de libertad si su funci´on de densidad est´adada
por
Γ((n +1)/2) 2 −(n+1)/2
f(x)= √ (1 + x /n) , para −∞ <x < ∞,
nπ Γ(n/2)
cuya gr´afica se muestra en la Figura 6.2, cualitativamente esmuy parecida
aladensidad normal est´andar.

En este caso se escribe X ∼ t(n). Esta distribuci´on apareci´o por primera
vez en 1908 en un trabajo publicado por William Gosset bajo el seud´oni-
mo de Student.Cuando el valor del par´ametro n es igual a uno se obtie-
ne la distribuci´on Cauchy. Se puede demostrar tambi´en que E(X)= 0, y
Var(X)= n/(n − 2), para n> 2. La primera igualdad establece que esta
distribuci´on se encuentra siempre centrada en cero para cualquier valor del
par´ametro n.Se muestran a continuaci´on algunas formas en las que surge
esta distribuci´on.