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Cap´ ıtulo 6. Dist. muestrales y estad´ ısticas de orden 263

6.1. Distribuciones muestrales

Se estudian a continuaci´on algunas distribuciones que surgen en la estad´ısti-
ca al considerar funciones de una muestra aleatoria, en particular, la media
yla varianza muestral.

Distribuci´ on ji-cuadrada. La variable aleatoria continua X tiene una
distribuci´on ji-cuadrada con n> 0grados de libertad, si su funci´on de
densidad es
⎧
4 5 n/2
1 1
⎪ n/2−1 −x/2
⎨ x e si x> 0,
f(x)= Γ(n/2) 2
⎪
0 si x ≤ 0.
⎩
2
2
En este caso se escribe X ∼ χ (n). El t´ermino χ se lee ji-cuadrada. La
gr´afica de esta funci´on de densidad se muestra en la Figura 6.1.
f(x)
1 n =1
2

n =2
n =3
n =4
x

2
Figura 6.1: Funci´on de densidad χ (n).
Puede demostrarse que E(X)= n,y Var(X)= 2n.Observe que la distri-
2
buci´on χ (n)con n =2 se reduce a la distribuci´on exp(λ)con λ =1/2.
La distribuci´on ji-cuadrada puede encontrarse como indican los siguientes
resultados.

2
2
Proposici´ on.Si X ∼ N(0, 1), entonces X ∼ χ (1).