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Cap´ ıtulo 5. Transformaciones 259

Distribuci´on del cociente

466. Encuentre la funci´on de densidad de X/Y para (X, Y )un vector con
funci´on de densidad
1
a) f(x, y)= para 0 <x <a,0 <y <b.
ab
b) f(x, y)= e −x−y , para x, y > 0.
c) f(x, y)= e −y , para 0 <x <y.
d) f(x, y)= 8xy, para 0 <x <y < 1.
e) f(x, y)= 4x(1 − y), para 0 <x, y < 1.
f ) f(x, y)= 2e −x−y , para 0 <x <y.
467. Encuentre la funci´on de densidad de X/Y cuando X y Y son inde-
pendientes y ambas con distribuci´on: a)unif(0, 1). b)exp(λ).

468. Encuentre la funci´on de densidad de X/Y cuando X y Y son inde-
pendientes y ambas con funci´on de densidad
a) f(x)= 2x, para 0 <x < 1.
b) f(x)= 6x(1 − x), para 0 <x < 1.
c) f(x)= (1 + x)/2, para −1 <x < 1.

469. Encuentre la funci´on de densidad de X/Y cuando X y Y son inde-
pendientes y son tales que

a) X tiene distribuci´on unif(−1, 0) y Y tiene distribuci´on unif(0, 1).
b) X tiene distribuci´on unif(0, 1) y Y tiene distribuci´on exp(λ).

470. Sean X y Y independientes con distribuci´on exp(λ). Encuentre la
funci´on de densidad de X/(X + Y ).
471. Sea (X 1 ,... ,X n )un vector absolutamente continuo con funci´on de
(x 1 ,... ,x n ). Demuestre que la variable X 1 /(X 2 ··· X n )
densidad f X 1,...,X n
tiene funci´on de densidad
' '
∞ ∞
f(u)= ··· f X 1,...,X n (uv 2 ··· v n ,v 2 ,... ,v n ) |v 2 ··· v n | dv 2 ··· dv n .
−∞ −∞