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Cap´ ıtulo 5. Transformaciones 257

b) X tiene distribuci´on exp(λ)y Y tiene distribuci´on unif(0, 1).

455. Sea a una constante. Demuestre que la diferencia de dos variables alea-
torias independientes ambas con distribuci´on uniforme en el intervalo
(a − 1/2,a +1/2) tiene funci´on de densidad

2
1 − |u| si − 1 <u < 1,
f(u)=
0 otro caso.

456. Demuestre que la diferencia de dos variables aleatoriasindependientes,
cada una de ellas con distribuci´on normal, tiene nuevamentedistribu-
ci´on normal, con media la diferencia de las medias, y varianza la suma
de las varianzas.

457. Sean X y Y son discretas, independientes y con valores enteros. De-
(
muestre que f X−Y (u)= f X (u + k)f Y (k), en donde la suma se
k
efect´ua sobre todos los posibles valores enteros k que la variable alea-
toria Y puede tomar.
458. Sea (X, Y, Z)un vector aleatorio absolutamente continuo. Encuentre
una f´ormula para la funci´on de densidad de la variable X + Y − Z.

459. Sea (X, Y, Z)un vector aleatorio absolutamente continuo. Encuentre
una f´ormula para la funci´on de densidad de la variable X − Y + Z.

460. Sea (X 1 ,... ,X n )un vector absolutamente continuo con funci´on de
(x 1 ,... ,x n ). Demuestre que la variable X 1 − X 2 −
densidad f X 1 ,...,X n
··· − X n tiene funci´on de densidad
' '
∞ ∞
f(u)= ··· f X 1,...,X n (u + v 2 + ··· + v n ,v 2 ,... ,v n ) dv 2 ··· dv n .
−∞ −∞
Aplique esta f´ormula al caso cuando las variables X 1 ,... ,X n son in-
dependientes y cada una de ellas tiene distribuci´on unif(0, 1).