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256 5.3. Ejercicios

450. Sea (X 1 ,... ,X n )un vector aleatorio absolutamente continuo. De-
muestre que la variable X 1 + ··· + X n tiene funci´on de densidad
' '
∞ ∞
f(u)= ··· f X 1,...,X n (u − v 2 − ··· − v n ,v 2 ,... ,v n ) dv 2 ··· dv n .
−∞ −∞
Aplique esta f´ormula para encontrar la funci´on de densidadde la suma
de n variables aleatorias independientes, en donde cada sumandotiene
distribuci´on unif(0, 1).

Distribuci´on de la diferencia

451. Encuentre la funci´on de densidad de X − Y ,para (X, Y )un vector
con funci´on de densidad
1
a) f(x, y)= , para 0 <x <a,0 <y <b.
ab
b) f(x, y)= e −x−y , para x, y > 0.
c) f(x, y)= e −y , para 0 <x <y.
d) f(x, y)= 8xy, para 0 <x <y < 1.
e) f(x, y)= 4x(1 − y), para 0 <x, y < 1.

452. Encuentre la funci´on de densidad de X − Y ,cuando X y Y son inde-
pendientes y ambas con distribuci´on: a)unif(0, 1). b)exp(λ).

453. Encuentre la funci´on de densidad de X − Y ,cuando X y Y son inde-
pendientes y ambas con funci´on de densidad

a) f(x)= 2x, para 0 <x < 1.
b) f(x)= 6x(1 − x), para 0 <x < 1.
c) f(x)= (1 + x)/2, para −1 <x < 1.

454. Encuentre la funci´on de densidad de X − Y ,cuando X y Y son inde-
pendientes y tales que

a) X tiene distribuci´on unif(1, 2) y Y tiene distribuci´on unif(0, 1).