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258 5.3. Ejercicios

Distribuci´on del producto

461. Encuentre la funci´on de densidad del producto de dos variables aleato-
rias independientes ambas con distribuci´on: a)unif(0, 1). b)exp(λ).

462. Encuentre la funci´on de densidad del producto de dos variables alea-
torias cuya funci´on de densidad conjunta es
1
a) f(x, y)= , para 0 <x <a,0 <y <b.
ab
b) f(x, y)= e −x−y , para x, y > 0.
c) f(x, y)= e −y , para 0 <x <y.
d) f(x, y)= 8xy, para 0 <x <y < 1.
e) f(x, y)= 4x(1 − y), para 0 <x, y < 1.

463. Encuentre la funci´on de densidad del producto de dos variables alea-
torias independientes cada una de ellas con funci´on de densidad

a) f(x)= 2x, para 0 <x < 1.
b) f(x)= 6x(1 − x), para 0 <x < 1.
c) f(x)= (1 + x)/2, para −1 <x < 1.

464. Encuentre la funci´on de densidad del producto de dos variables alea-
torias independientes X y Y ,tales que
a) X tiene distribuci´on unif(−1, 0) y Y tiene distribuci´on unif(0, 1).
b) X tiene distribuci´on unif(0, 1) y Y tiene distribuci´on exp(λ).

465. Sea (X 1 ,... ,X n )un vector absolutamente continuo con funci´on de
(x 1 ,... ,x n ). Demuestre que la variable producto
densidad f X 1,...,X n
X 1 ··· X n tiene funci´on de densidad
' '
∞ ∞ u 1
f(u)= ··· f X 1,...,X n ( ,v 2 ,... ,v n ) | | dv 2 ··· dv n .
v 2 ··· v n v 2 ··· v n
−∞ −∞
Aplique este resultado al caso cuando todas las variables sonindepen-
dientes y cada una de ellas tiene distribuci´on unif(0, 1).