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Ejemplo.(Media y varianza muestral). La media muestral es una
¯
estad´ıstica denotada por X ydefinida como sigue
n
1
¯
"
X = X i .
n
i=1
¯
Observe que X es una combinaci´on lineal de los elementos de la m.a. y por
lo tanto es una variable aleatoria. Otro ejemplo importante de estad´ıstica
2
es la varianza muestral, denotada por S ydefinida como sigue
n
1 "
2
¯ 2
S = (X i − X) .
n − 1
i=1
Observe que en el denominador aparece el n´umero de sumandos menos uno.
La media y la varianza muestrales tienen la caracter´ıstica de ser estimadores
insesgados para la media y la varianza, respectivamente, de una distribuci´on
cualquiera. !

En particular, cuando la muestra aleatoria proviene de una distribuci´on nor-
mal, resulta que la media y la varianza muestrales son independientes. Este
es un resultado interesante e inesperado, y la demostraci´onpuede encon-
trarse en [20].

2
Proposici´ on.Sea X 1 ,... ,X n una m.a. de la distribuci´on N(µ, σ ). En-
¯
2
tonces las estad´ısticas X y S son independientes.

Utilizaremos este resultado m´as adelante. La proposici´onreci´en enunciada
no es v´alida para cualquier distribuci´on de probabilidad,por ejemplo, no es
dif´ıcil verificar su no validez para una muestra aleatoria dela distribuci´on
Bernoulli.