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Cap´ ıtulo 6. Dist. muestrales y estad´ ısticas de orden 265

notaci´on evitar´a el uso de sub´ındices. Por la f´ormula (5.2), para u> 0,

u
'
f X+Y (u)= f X (u − v)f Y (v) dv
0
u 1 1
' 4 5 n/2
= (u − v) n/2−1 −(u−v)/2
e
0 Γ(n/2) 2
4 5 m/2
1 1 m/2−1 −v/2
v e dv
Γ(m/2) 2
4 5 (n+m)/2
1 1
= e −u/2
Γ(n/2)Γ(m/2) 2
u
'
v
(u − v) n/2−1 m/2−1 dv.
0
Haciendo el cambio de variable w(v)= v/u se obtiene
4 5 (n+m)/2
1 1
u
f X+Y (u)= e −u/2 (n+m)/2−1
Γ(n/2)Γ(m/2) 2
1
'
(1 − w) n/2−1 w m/2−1 dw.
0
La integral resultante es B(n/2,m/2). Entonces
4 5 (n+m)/2
B(n/2,m/2) 1
f X+Y (u)= e −u/2 (n+m)/2−1
u
Γ(n/2)Γ(m/2) 2
4 5 (n+m)/2
1 1
u
= e −u/2 (n+m)/2−1 .
Γ((n + m)/2) 2
2
Esta es la funci´on de densidad de la distribuci´on χ (n + m).

El resultado anterior puede demostrarse de una manera m´as simple y ele-
gante usando la funci´on generadora de momentos o la funci´oncaracter´ıstica,
presentadas en el siguiente cap´ıtulo.