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268 6.1. Distribuciones muestrales

f(x)
n =100
n =3
n =1

x

Figura 6.2: Funci´on de densidad t(n).

2
Proposici´ on.Sean X ∼ N(0, 1) y Y ∼ χ (n)independientes. Entonces
X
∼ t(n).
:
Y/n

Demostraci´on. Por independencia, la funci´on de densidad conjunta de X y
Y es, para y> 0,

4 5 n/2
1 −x /2 1 1 n/2−1 −y/2
2
f X,Y (x, y)= √ e y e .
2π Γ(n/2) 2
:
Se aplica la f´ormula (5.1) para la transformaci´on ϕ(x, y)= (x, x/ y/n), con
2
2
inversa ϕ −1 (s, t)= (s, ns /t ). El Jacobiano de la transformaci´on inversa es
B B B B
∂x/∂s ∂x/∂t 1 0
2
3
B B B B
J(s, t)= B B = B B = −2ns /t .
2
B ∂y/∂s ∂y/∂t B B 2sn/t 2 −2ns /t 3 B
Por lo tanto
2
2
2
f S,T (s, t)= f X (s)f Y (ns /t ) · 2ns /t 3
4 5 n/2 n/2−1 n−2
1 2 1 1 n s 2 2
2
3
= √ e −s /2 e −ns /2t 2ns /t .
2π Γ(n/2) 2 t n−2