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266 6.1. Distribuciones muestrales

Proposici´ on.Sean X 1 ,... ,X n independientes cada una con distribu-
2
ci´on N(µ, σ ). Entonces
n
(X i − µ) 2
" ∼ χ (n).
2
σ 2
i=1

Demostraci´on. Esto es una consecuencia sencilla de las dos proposiciones
2
anteriores. Como cada una de las variables X i tiene distribuci´on N(µ, σ ),
para i =1,... ,n,entonces (X i − µ)/σ tiene distribuci´on N(0, 1). Por lo
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2
2
tanto, (X i − µ) /σ tiene distribuci´on χ (1). En consecuencia, ( n (X i −
i=1
2
2
2
µ) /σ tiene distribuci´on χ (n).
Ahora se enuncia un resultado cuya demostraci´on se pospone hasta que se
cuente con la poderosa herramienta de las funciones generadoras de momen-
tos. Este es el contenido del ejercicio 572 en la p´agina 341.
Proposici´ on.Sean X y Y independientes tales que X tiene distribuci´on
2
2
χ (n), y X + Y tiene distribuci´on χ (m)con m> n.Entonces Y tiene
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distribuci´on χ (m − n).
Con ayuda de esta proposici´on se demuestra ahora el siguiente resultado de
particular importancia en estad´ıstica.

Proposici´ on.Sean X 1 ,... ,X n independientes con distribuci´on
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N(µ, σ ). Entonces
n − 1
2
2
S ∼ χ (n − 1).
σ 2