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264 6.1. Distribuciones muestrales

Demostraci´on. Para x> 0,

√ 1 √ 1
f X 2(x)= f X ( x) √ + f X (− x) √
2 x 2 x
√ 1
= f X ( x)√
x
1 1
= √ e −x/2 √
2π x
4 5 1/2
1 1
= x 1/2−1 −x/2 .
e
Γ(1/2) 2
2
Esta es la funci´on de densidad de la distribuci´on χ (1).

La suma de dos o mas variables aleatorias independientes con distribuci´on ji-
cuadrada es nuevamente una variable aleatoria ji-cuadrada,y sus grados de
libertad son la suma de los grados de libertad de cada uno de lossumandos.
Este es el contenido de la siguiente proposici´on.

Proposici´ on.Sean X 1 ,... ,X m independientes tales que cada X i tiene
2
distribuci´on χ (n i ), para i =1,... ,m.Entonces
m
"
2
X i ∼ χ (n 1 + ··· + n m ).
i=1

Demostraci´on. Es suficiente demostrar el resultado para el caso de dos va-
riables aleatorias. Sean X y Y independientes con distribuci´on ji-cuadrada
con grados de libertad n y m,respectivamente. Este ligero cambio en la