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272 6.2. Estad´ ısticas de orden

Ahora hacemos variar el argumento ω ylo que se obtiene son las as´ı lla-
madas estad´ısticas de orden. Este proceso de ordenamiento resulta ser de
importancia en algunas aplicaciones. Tenemos entonces la siguiente defini-
ci´on.

Definici´ on. (Estad´ ısticas de orden). Sea X 1 ,... ,X n una muestra
aleatoria. A las variables aleatorias ordenadas

X (1) =m´ın {X 1 ,... ,X n },
X (2) =m´ın {X 1 ,... ,X n }\ {X (1) },
X (3) =m´ın {X 1 ,... ,X n }\ {X (1) ,X (2) },
. . .

X (n) =m´ax {X 1 ,... ,X n },

se les conoce con el nombre de estad´ısticas de orden. A X (1) se le llama
primera estad´ıstica de orden, a X (2) se le llama segunda estad´ıstica de
orden, etc. A X (i) se le llama i-´esima estad´ıstica de orden, i =1,... ,n.

Observe que, aunque los elementos de la muestra aleatoria sonvariables
aleatorias independientes, las estad´ısticas de orden no loson, pues deben
mantener la relaci´on X (1) ≤ X (2) ≤ ··· ≤ X (n) .Observe adem´as que la i-
´esima estad´ıstica de orden X (i) no necesariamente es igual a alguna variable
de la muestra aleatoria en particular, sino que, en general, es una funci´on
de todas las variables de la muestra aleatoria.

Nuestro objetivo es encontrar algunas f´ormulas relacionadas con las distri-
buciones de probabilidad de las estad´ısticas de orden cuando se conoce la
distribuci´on de las variables de la muestra aleatoria, que por simplicidad se
supondr´a absolutamente continua. En lo que resta del cap´ıtulo supondremos
entonces que X 1 ,... ,X n es una muestra aleatoria en donde cada variable
tiene funci´on de densidad f(x)y funci´on de distribuci´on F(x).