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274 6.2. Estad´ ısticas de orden

Ejercicio. Compruebe que las expresiones encontradas para f X (1) y f X (n)
son efectivamente funciones de densidad. Encuentre en particular las ex-
presiones para estas funciones cuando las variables de la muestra tienen
distribuci´on unif(0, 1). !

Ahora se presenta el resultado general acerca de la funci´on de densidad de
la i-´esima estad´ıstica de orden.

Proposici´ on.La funci´on de densidad de la i-´esima estad´ıstica de orden
es
4 5
n
(x)= if(x)[F(x)] i−1 [1 − F(x)] n−i .
i
f X (i)

Demostraci´on. Para cada i defina la variable aleatoria
&
1si X i ≤ x,
Y i =1 (−∞,x] (X i )=
0si X i >x,
en donde X i es el i-´esimo elemento de la muestra aleatoria. Las variables
Y 1 ,... ,Y n son independientes y cada una de ellas puede considerarse un
ensayo Bernoulli con probabilidad de ´exito, es decir tomar el valor 1, igual
a P(X i ≤ x)= F(x). Entonces la suma Y 1 +···+Y n corresponde al n´umero
de variables aleatorias X i que cumplen la condici´on X i ≤ x,y por lo tanto
esta suma tiene distribuci´on bin(n, p), con p = F(x). Entonces

(x)= P(X ≤ x)
F X (i) (i)
= P(Y 1 + ··· + Y n ≥ i)
n 4 5
" n j n−j
= [F(x)] [1 − F(x)] .
j
j=i