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Cap´ ıtulo 6. Dist. muestrales y estad´ ısticas de orden 275

Derivando y despu´es simplificando,

n 4 5
" n
(x)= f(x)[F(x)] j−1 [1 − F(x)] n−j−1
j
f X (i)
j=i
[j(1 − F(x)) − (n − j)F(x)]
n 4 5
" n
= jf(x)[F(x)] j−1 [1 − F(x)] n−j
j
j=i
n 4 5
" n
j
− (n − j)f(x)[F(x)] [1 − F(x)] n−j−1
j
j=i
4 5
n
= if(x)[F(x)] i−1 [1 − F(x)] n−i .
i

(x)es efecti-
Ejercicio. Demuestre que la expresi´on encontrada para f X (i)
vamente una funci´on de densidad. Verifique que esta densidadse reduce a
las encontradas antes cuando el ´ındice i toma los valores 1 o n.En parti-
cular, encuentre la funci´on de densidad de la i-´esima estad´ıstica de orden
suponiendo que las variables de la muestra tienen distribuci´on unif(0, 1). !

Acontinuaci´on se presenta un argumento corto e intuitivo que nos lleva
al mismo resultado. Sea h> 0arbitrario, y considere los siguientes tres
intervalos ajenos (−∞,x], (x, x + h]y (x + h, ∞).

i − 1 1 n − i

x x + h

La probabilidad de que i − 1variables de lamuestra tomen un valor en el
intervalo (−∞,x], una de ellas en (x, x + h], y el resto n − i en (x + h, ∞)
es, de acuerdo a la distribuci´on multinomial,

n! i−1 n−i
[F(x)] [F(x + h) − F(x)][1 − F(x + h)] .
(i − 1)! 1! (n − i)!