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278 6.2. Estad´ ısticas de orden

Observe que el segundo sumando no depende de x 2 ,asi es que al tomar
la derivada respecto de esta variable, este t´ermino desaparece. De manera
an´aloga procedemos con los eventos (X (3) ≤ x 3 )hasta (X (n) ≤ x n ). Al final
se obtiene

(x 1 ,... ,x n )
f X (1) ,...,X (n)
∂ n
= P(X (1) ≤ x 1 ,x 1 <X (2) ≤ x 2 ,... ,x n−1 <X (n) ≤ x n ).
∂x 1 ··· ∂x n
Como ahora los intervalos involucrados son disjuntos, la distribuci´on multi-
nomial asegura que
P(X (1) ≤ x 1 ,x 1 <X (2) ≤ x 2 ,... ,x n−1 <X (n) ≤ x n )
= n! P(X 1 ≤ x 1 ,x 1 <X 2 ≤ x 2 ,... ,x n−1 <X n ≤ x n )
= n! F(x 1 )[F(x 2 ) − F(x 1 )] ··· [F(x n ) − F(x n−1 )],

en donde la ´ultima igualdad se sigue de la independencia e id´entica distribu-
ci´on de las variables de la muestra. Ahora solo resta derivarpara encontrar
el resultado buscado, siendo m´as sencillo encontrar las derivadas en el orden
inverso.

Ejercicio. Demuestre que la expresi´on encontrada para la funci´on de den-
sidad conjunta de las estad´ısticas de orden es efectivamente una funci´on de
densidad multivariada. Encuentre adem´as esta funci´on cuando las variables
de la muestra tienen distribuci´on unif(0, 1). !

La siguiente demostraci´on es una prueba corta pero no formaldelmismo
resultado. Sean x 1 <x 2 < ··· <x n ,y h> 0 suficientemente peque˜na tal
que los intervalos (x 1 ,x 1 +h], (x 2 ,x 2 +h],... , (x n ,x n +h]son ajenos. V´ease
la Figura 6.4.

La probabilidad de que las variables aleatorias tomen valores, cada una de
ellas, en uno y s´olo uno de estos intervalos es, de acuerdo a ladistribuci´on
multinomial,
n!
[F(x 1 + h) − F(x 1 )] ··· [F(x n + h) − F(x n )].
1! ··· 1!