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Cap´ ıtulo 6. Dist. muestrales y estad´ ısticas de orden 277

Ejercicio. Se escogen n puntos al azar con distribuci´on uniforme en el in-
tervalo unitario (0, 1). Demuestre que la funci´on de densidad de la distancia
m´axima entre cualesquiera dos puntos es

& n−2
n(n − 1)r (1 − r) si 0 <r < 1,
f(r)=
0 otro caso.

!

Distribuciones conjuntas

Se presentan a continuaci´on dos resultados acerca de la distribuci´on con-
junta de las estad´ısticas de orden. El primer resultado trata acerca de la
distribuci´on conjunta de todas ellas, despu´es se considera la distribuci´on
conjunta de cualesquiera dos.

Proposici´ on.Para x 1 < ··· <x n ,

(x 1 ,... ,x n )= n! f(x 1 ) ··· f(x n ).
f X (1) ,...,X (n)

Demostraci´on. Se considera la funci´on de distribuci´on conjunta de todas las
estad´ısticas de orden, y despu´es se deriva n veces para encontrar la funci´on
de densidad. Para x 1 <x 2 < ··· <x n ,

(x 1 ,... ,x n )= P(X ≤ x 1 ,X ≤ x 2 ,... ,X ≤ x n ).
F X (1) ,...,X (n) (1) (2) (n)
Como (X (2) ≤ x 2 )= (x 1 <X (2) ≤ x 2 )∪(X (2) ≤ x 1 ), se obtiene la expresi´on

(x 1 ,... ,x n )= P(X ≤ x 1 ,x 1 <X ≤ x 2 ,... ,X ≤ x n )
F X (1) ,...,X (n) (1) (2) (n)
+ P(X (1) ≤ x 1 ,X (2) ≤ x 1 ,... ,X (n) ≤ x n ).