Page 267 - cip2007

Cap´ ıtulo 5. Transformaciones 255

443. Encuentre la funci´on de densidad de la suma de n variables aleatorias
con distribuci´on conjunta uniforme en el hipercubo

(−1, 1) × ··· × (−1, 1) .
) *+ ,
n

444. Demuestre que la suma de dos variables aleatorias independientes, ca-
da una de ellas con distribuci´on normal, tiene nuevamente distribuci´on
normal, con media la suma de las medias, y varianza la suma de las
varianzas.

2
445. Sean X 1 ,... ,X n independientes en donde X k tiene distribuci´on N(µ k , σ )
k
para k =1,... ,n.Sean c 1 ,... ,c n constantes dadas, no todas cero. De-
muestre que
n n n
" " " 2 2
c k X k ∼ N( c k µ k , c σ ).
k k
k=1 k=1 k=1
2
446. Sean X 1 ,... ,X n independientes y con id´entica distribuci´on N(µ, σ ).
Demuestre que la media muestral dada por (X 1 + ··· + X n )/n tiene
2
distribuci´on N(µ, σ /n).
447. Demuestre que la suma de dos variables aleatorias independientes, ca-
da una de ellas con distribuci´on exp(λ), tiene distribuci´on gama(2, λ).
M´as generalmente, demuestre que la suma de n variables aleatorias
independientes, cada una de ellas con distribuci´on exp(λ), tiene dis-
tribuci´on gama(n, λ).

448. Demuestre que la suma de dos variables aleatorias independientes con
distribuci´on gama(n, λ)y gama(m, λ), tiene distribuci´on gama(n +
m, λ).
449. Sean X y Y son discretas, independientes y con valores enteros. De-
muestre que f X+Y (u)= ( k f X (u − k)f Y (k), en donde la suma se
efect´ua sobre todos los posibles valores enteros k que la variable alea-
toria Y puede tomar.